Рейтинг:   / 1

ПлохоОтлично 

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №1 г.Буинска РТ»

Исследовательская работа по
математике

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения

Автор:
Халитов Айрат,
ученик 10 класса

Руководитель:
Камалова Эльмира Вазыховна,
учитель математики
первой квалификационной категории

Оглавление:

Введение 2
Основная часть…………………………………………………………………… 3
Немного теории: 3
1-Й СПОСОБ. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ К ОДНОРОДНОМУ ОТНОСИТЕЛЬНО СИНУСА И КОСИНУСА. 4
2-Й СПОСОБ. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ. 5
3-й способ. Введение вспомогательного угла. 6
4-Й СПОСОБ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЗНОСТИ (ИЛИ СУММЫ) ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ. 7
5-й способ. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций. 8
6-Й СПОСОБ. ВОЗВЕДЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ. 9
7-Й СПОСОБ. ВЫРАЖЕНИЕ ВСЕХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ TG Х (УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОДСТАНОВКА) ПО ФОРМУЛАМ: 10
8-Й СПОСОБ. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ. 11
Заключение 12
Использованная литература: 13

 
Введение
Слова известного французского писателя Э.Золя : «Весь смысл жизни заключается в бесконечном завоевании неизвестного; в вечном усилии познать больше» являются девизом моей жизни.Особенно мне нравятся уроки математики.
В этом учебном году на уроках математики мы изучали тригонометрические уравнения. Мы узнали о нескольких методах решения этих уравнений:
1) метод замены переменной;
2)метод разложения на множители;
3)универсальная подстановка.
Выполняя домашнее задание, я заинтересовался вопросом: существуют ли другие методы решения тригонометрических уравнений?
В кабинете математики я увидел подшивки старых газет «Математика», в которых прочитал о других методах решения тригонометрических уравнений.
В данном проекте я вам хочу рассказать о 8 способах решения одного тригонометрического уравнения, о которых я узнал.
Целью моей работы является изучение разных способов решения тригонометрических уравнений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Ознакомиться с дополнительной литературой по данной теме.
Систематизировать знаний по теме.
Провести опрос в классе.
Проанализировать данные опроса.
Методами исследования являются опрос, сравнение, анализ и обобщение. Тему исследования, считаю, достаточно актуальной, поскольку эти знания помогут нам при подготовке к ЕГЭ: несколько заданий в части В и С связаны с тригонометрическими уравнениями.
 
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
НЕМНОГО ТЕОРИИ:

Тригонометрическое уравнение-это уравнения, в которых переменные содержатся под знаками тригонометрических функций. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида: sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a ∈ R).

При решении тригонометрических уравнений необходимо помнить следующие моменты:
При решении тригонометрических уравнений нельзя сокращать на переменную величину, это может привести к потере корней уравнения. Необходимо каждый множитель исследовать на решение.
При решении тригонометрических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений (О.Д.З.).
При возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появляться посторонние корни. Необходима отборка полученных решений, но это сложно, поэтому по возможности нужно обходиться без этой операции.
Потеря корней уравнения может произойти и от замены тригонометрических функций через тангенс tg x/2=t( универсальная тригонометрическая подстановка). Функция tg (х/2) не существует для х/2 = π/2 + πn, т.е. х ≠ π + 2πn. Но sin x и cos x определены в этих точках. Поэтому необходимо всегда проверять корни х = π + 2πn на решение отдельно

1-й способ. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
Рассмотрим уравнение sin x – cos x =1.
Разложим левую часть по формуле двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей:
sin x = 2sin cos ; cos x = cos2 – sin2 ; 1 = sin2x + cos2 x.
2sin cos – cos2 + sin2 = sin2 + cos2
2sin cos – 2cos2 = 0
cos (sin – cos ) = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому
cos = 0; или sin – cos = 0 – это однородное уравнение первой
=  /2 + k; степени. Делим обе части уравнения на cos (cos 0),
x =  + 2k, k Z; т.к. если cos = 0, то sin =0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.)
Получим: tg = 1, sin /cos =1
sin = cos
= + n;
x = +2n; n Z.
Ответ: x =  + 2k, k Z , x = +2n , n Z.
 
2-й способ. Разложение левой части уравнения на множители.
sin x – cos x =1.
sin x - (1 + cos x) = 0;
1 + cos x = 2 cos2 ;
sin x= 2 sin cos ;
2 sin cos - 2 cos2 = 0;
cos (sin – cos ) = 0. Далее так, как в первом способе.

3-й способ. Введение вспомогательного угла.
sin x – cos x =1.
В левой части вынесем - корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х вынесем за скобки, получим
(sin x - cos x ) = 1;
sin x - cos x = ;
sin x cos - cos x sin = ; (по формуле sin cos - cos sin = sin ( - ) )
sin (x - ) = ;

1) x - = + 2n; x = + 2n, n Z;
2) x - = + 2k; x =  + 2k, k Z.
Ответ: x = + 2n, n Z; x =  + 2k, k Z. 
4-й способ. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

sin x – cos x =1.
Запишем уравнение в виде:
sin x – sin( - x )=1.
Применим формулу разности двух синусов:
sin  - sin  = 2 sin (+ )/2 cos ( - )/2.
2 sin (x - ) cos = 1;
2 sin (x - ) = 1;
sin (x - ) = ;
Далее так, как в третьем способе.
 
5-й способ. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
sin x – cos x =1.
sin2x + cos2 x=1; sin x = ±√(1- cos^2 x) ;
sin x – cos x = 1 => ±√(1- cos^2 x) - cos x=1;
±√(1- cos^2 x) = 1 + cos x;
Возведём в квадрат обе части уравнения,после некоторых упрощений получим:
2cos2 x + 2cos x = 0; cos x (cos x +1) = 0;
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому
cos x =0; или cos x + 1 = 0;
x = + 2k, k Z; cos x = - 1 ;
x =  + 2n, n Z.
При решении уравнения обе части возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.
Выполним её:
Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений:
x = + 2k, k Z; x =  + 2n, n Z; x =- + 2m, m Z
Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим:
x =- + 2m, m Z
Левая часть: sin (- + 2m) – cos (- + 2m) = sin (- ) – cos (- ) = -1 – 0 = -1. Правая часть: 1.
Следовательно, x =- + 2m, m Z – постороннее решение.
Ответ: x = + 2k, k Z; x =  + 2n, n Z.
6-й способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

sin x – cos x = 1
(sin x – cos x)2 = 1^2;
sin2x – 2sin x ∙ cos x + cos2 x = 1;
1 - 2 sin x cos x = 1; (2 sin x cos x = sin 2x – формула двойного угла)
sin 2x = 0;
2x = k;
x = k, k Z;
Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:
x = 2k, k Z;
x = + 2n, n Z;
x = + 2m, m Z;
x =- + l, l Z;
После проверки понятно, что первое и четвёртое решения - посторонние.
Ответ: x = + 2m, m Z , x = + 2n, n Z. 
7-й способ. Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам:
sin x = (2tg )/(1 + tg² ); cos x = (1 – tg² )/(1 + tg² ); tg x = (2tg )/(1 – tg² ) .
sin x – cos x =1
(2tg )/( 1 + tg² ) – (1 – tg² )/(1 + tg² ) = 1.
Умножим обе части уравнения на 1 + tg2 (1 + tg² ≠0, т.к. tg² ≥0.)
2tg – 1 + tg² = 1 + tg² ;
2tg = 2; tg = 1;
(sin )/(cos ) =1; sin = cos
= + n;
x = + 2n; n Z.
ОДЗ первоначального уравнения - всё множество R.
При переходе к tg из рассмотрения выпали значения, при которых tg не имеет смысла, т.е. x =  + 2k; k Z . Следует проверить, не является ли x =  + 2k; k Z решением данного уравнения.
Левая часть: sin( + 2k) – cos(π + 2k) = sin π – cos  = 0 – (-1) = 1
Правая часть: 1.
Значит, x =  + 2k; k Z является решением данного уравнения.
Ответ: x =  + 2k; k Z , x = + 2n; n Z.
8-й способ. Графическое решение.

sin x – cos x =1
На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения.
у = sin х – график: синусоида.
у = (соs х + 1) – синусоида, смещённая на единицу вверх.

Ответ: x =  + 2n; n Z; x = + 2k; k Z.

Заключение

После проделанной работы я убедился в том, что существует не один метод решения тригонометрического уравнения. Проведя опрос в классе, я узнал, что в среднем (около 50%) мои одноклассники предпочитают три метода решения тригонометрических уравнений - метод замены переменной, графический и разложение на множители.37% знают 4 метода, а 13% - только 2.



У меня возникло желание познакомить с другими методами и своих одноклассников. Когда я показал свой проект на элективном занятии классу, ребята были удивлены тем, что существует столько методов решения одного тригонометрического уравнения. Я думаю, что это занятие можно считать практическим выходом моей исследовательской работы.



Использованная литература:

• Газета «Математика» №40,октябрь 1995 г.
• Учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс, Москва «Просвещение» 2009 г.
• http://www.bymath.net/

• < Назад
• Вперёд >