Геометрия окружности. Итоги исследовательской работы.

Г.Р.Кашапова

В этой статье вы познакомитесь с хорошо известной геометрической фигурой – окружностью. Наша цель - взглянуть на окружность свежим взглядом, увидеть, как связаны друг с другом уже известные факты, открыть новые.

Геометрия окружности - один из самых больших разделов геометрии, который ставит целью изучение: понятия окружности; элементов окружности (центр, радиус, диаметр, хорда); взаимного расположения прямой и окружности; касательной и секущей к окружности; взаимного расположения двух окружностей; углов, связанных с окружностью; многоугольников, вписанных в окружность; многоугольников, описанных около окружности;  вписанные и описанные окружности правильного многоугольника. Эти и другие понятия были рассмотрены и нашли свое описание в исследовательской разработке, посвященной «геометрии окружности».

Цели и задачи исследовательской работы заключались в следующем:

- ввести понятия, связанные с окружностью и кругом;

- рассмотреть основные теоремы и свойства по данной теме;

- сгруппировать все данные в компактной и удобной для использования форме;

- рассмотреть решение основных видов задач по данной теме;

- разработать тесты для подготовки к ЕГЭ.

Главной целью было систематизировать, обобщить и сжато изложить тему «Окружность и круг», которая в школьных учебниках дается в течение трех лет; рассмотрение некоторых видов задач по данной теме.

Как нам всем известно, в практике преподавания математики в средней школе понятие окружности и круга возникает неоднократно.  В 7 классе дети знакомятся с понятием окружности, ее элементами, учатся выполнять построения с помощью окружностей. В  8 классе даются понятия касательной, хорды, их свойства в окружности, центральные и вписанные углы, вписанные и описанные окружности и т.д.  В 9 классе изучается длина окружности, площадь круга, круговые сегменты и секторы и др. Но на этом изучение этих фигур не заканчивается. В 11 классе прослеживается тесная взаимосвязь окружности и круга с пространственными  фигурами. Кроме того, геометрические задачи на окружность и круг не редко присутствуют в заданиях ЕГЭ. Данный материал может служить пособием для подготовки к сдаче ЕГЭ, т.к. материал изложен достаточно кратко и четко и его изучение (повторение) не займет много времени.

Например, в параграфе 1.1. изложена информация об элементах окружности. Во втором - описываются свойства окружности. Такие свойства, как различные расположения прямой и окружности, свойства связанные с касательной к окружности и т.д. Далее вводятся углы связанные с окружностью. За ними в четвертом параграфе следуют различные уравнения окружности. В 1.5. непосредственно касательные и нормали окружности. Так же взяла за важный аспект рассмотрение концентрических и ортогональных окружностей, вписанной окружности. Нередко в школьных учебниках можно встретить материал про окружность девяти точек, вневписанную окружность. Именно этих тем я коснулась в восьмом и девятом параграфах. Без внимания не осталась и описанная окружность. С большим интересом и увлечением изучая описанную в различные фигуры окружность, изложила материал в последнем десятом параграфе.

Как говорилось ранее, теоретический материал разбит по конкретным темам и после каждого из них предоставлен ряд задач относящийся данной теме. Теоретический и практический материалы сопровождаются рисунками к ним. Что делает удобным восприятие материала учеником.

Я считаю, что в ходе работы все поставленные цели и задачи были достигнуты. А именно: был прочитан и обработан учебный материал по данной теме, а затем был изложен в доступной для ученика форме. Так же мною был разработан тест для подготовки к ЕГЭ и опробован на учениках школы №177 г.Казани во время прохождения педагогической практики. Проведение такого вида тестов, я считаю, позволяют учителю диагностировать уровень подготовленности своих учеников к итоговой аттестации.

Вот несколько заданий из этого теста:

1. Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром O, угол BAC равен 80º, дуга AC равна 110º. Найдите величину угла BOA.

1) 90º           2) 45º          3)85º          4) 170º

2. Из круга диаметром 10 см вырезан сектор с дугой 36º. Найдите площадь оставшейся части круга.

1) 2,5π          2)22,5π          3) 90π           4) 10π

3. Найдите длину окружности, в которую вписан квадрат с площадью 4.

1)            2) 8,88           3) 4,44           4) .

4. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу на отрезки 2 и 3. Найдите радиус окружности.

     1) 0,5              2) 1                  3)2                  4) 3

5. В окружность с центром O и радиусом 3 вписан квадрат ABCD. Найдите площадь треугольника AMD, где M- середина OD.

1.   1) 2,25            2) 2,5                3) 2,75             4) 3

В работе представлено изрядное количество задач различных авторов относящихся к части С в заданиях ЕГЭ. Такого типа задачи всегда вызывают затруднение у выпускников. Но прорешав или рассмотрев решения достаточного количества задач, можно найти общую логическую цепочку в них.

Например, задачи части С4 всегда подразумевают 2 способа решения. И требуют у учеников проявить навыки логического или нестандартного мышления. Рассмотрим одну из таких задач:

Дана окружность радиуса 2 с центром О. Хорда АВ пересекает радиус ОС в точке D, причем CDA=120 ͦ . Найдите радиус окружности, вписанной в угол АDC и касающейся дуги АС, если OD=.

Решение: Возможны два случая расположения указанной окружности в зависимости от типа касания с данной окружностью. В обоих случаях центры  и  этих окружностей будут лежать на биссектрисе угла ADC (см. рис.).

                            В

             О       D     E    С                        Е¹

                        L О¹     H

                      A

                                                              . О²

1. Рассмотрим внутреннее касание окружностей. Пусть радиус искомой окружности с центром в точке  равен r. Е – точка касания этой окружности с радиусом ОС. В прямоугольном треугольнике DE DE= 60  ͦ. (D биссектриса угла ADC)

DE = r  ctg60 =

Используя теорему о секущей и касательной, получим

OL OH = OE² ,

(2-2r)2=,

19r – 3=0 .

Условию задачи удовлетворяет положительный корень r=2.

2. В случае внешнего касания искомая окружность радиуса R с центром в точке    касается продолжений сторон DC и DA и данной окружности. Тогда, проводя аналогичные вычисления, получим R=3+2.

Ответ: 2 или  3+2.

Таким образом, поставленные и решенные задачи в данной работе имеют большое значение при составлении промежуточного контроля и при подготовке к ЕГЭ.

Геометрия окружности очень емкий и важный курс. Так же в технике, архитектуре и даже в быту мы сталкиваемся часто именно с задачами относящимися к геометрии окружности, что подчеркивает не менее важную роль геометрии окружности не только в науке но и в нашей бытовой жизни. 

У вас нет прав для создания комментариев.